Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Pada materi grafik fungsi kuadrat telah disinggung bahwa jika digambarkan pada bidang koordinat, grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari koefisien-koefisien fungsi kuadrat tersebut.

Berikut beberapa karakteristik yang perlu diperhatikan dalam mensketsa grafik fungsi kuadrat.
1.  a > 0 : parabola terbuka ke atas
2.  a < 0 : parabola terbuka ke bawah
3.  D > 0 : memotong sumbu-x di dua titik
4.  D = 0 : menyinggung sumbu-x
5.  D < 0 : tidak memotong sumbu-x

Dari karakteristik diatas, kita akan memperoleh gambaran kasar tentang grafik fungsi kuadrat tersebut, yang tentu saja akan memudahkan dalam mensketsa nantinya.

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat

Diberikan fungsi kuadrat (mathrm{y=f(x)=ax^{2}+bx+c})

1. Titik potong sumbu-X

Titik potong sumbu-x diperoleh pada saat (mathrm{y = 0}). $$mathrm{left ( x_{1},0 right );dan;left ( x_{2},0 right )}$$ Dengan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

2. Titik potong sumbu-Y
Titik potong sumbu-y diperoleh pada saat (mathrm{x = 0}).
y = f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c  $$mathrm{left ( 0,c right )}$$
3. Persamaan sumbu simetri
Persamaan sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi 2 bagian yang simetris. $$mathrm{x=frac{-b}{2a}}$$
4. Nilai ekstrim
Nilai ekstrim disebut juga nilai maksimum atau minimum fungsi. Jika nilai ekstrim dinyatakan dengan y, maka :  $$mathrm{y=frac{-D}{4a}}$$
5. Titik puncak
Titik puncak atau titik balik adalah titik dimana fungsi tersebut mencapai nilai maksimum atau minimum. $$mathrm{P left (frac{-b}{2a} ,frac{-D}{4a}  right )}$$

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat

    Catatan :

    1. Jika D = 0, maka titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.
    2. Jika D < 0, grafik tidak mempunyai titik potong sumbu-x.
    3. Jika b = 0, maka titik potong sumbu-y dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.

    Contoh 1
    Sketsalah grafik fungsi kuadrat (mathrm{f(x)=x^{2}-4x+3})

    Jawab :
    a = 1 > 0 (parabola terbuka ke atas)
    b = −4
    c = 3

    D = b2 − 4ac
    D = (−4)2 − 4.1.3 = 4
    D = 4
    Karena D > 0, maka parabola memotong sumbu-x di dua titik.

    Titik potong sumbu-x    ⇒ y = 0
    x2 − 4x + 3 = 0
    (x − 1)(x − 3) = 0
    x = 1 atau x = 3
    ⇒  (1, 0) dan (3, 0)

    Titik potong sumbu-y  ⇒  x = 0
    (0, c) ⇒ (0, 3)

    Persamaan sumbu simetri
    x = (mathrm{frac{-b}{2a}}) = (mathrm{frac{-(-4)}{2.1}}) = 2
    x = 2

    Nilai ekstrim
    y = (mathrm{frac{-D}{4a}}) = (mathrm{frac{-4}{4.1}})  = −1
    y = −1

    Titik puncak
    (mathrm{Pleft ( frac{-b}{2a},frac{-D}{4a} right )}) ⇒  (2, −1)

    Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

    Sketsa grafik f(x) = x^2 - 4x + 3

    Contoh 2
    Gambarlah grafik fungsi kuadrat (mathrm{f(x)=-x^{2}-4x-4})

    Jawab :
    a = −1 < 0 (parabola terbuka ke bawah)
    b = −4
    c = −4

    D = b2 − 4ac
    D = (−4)2 − 4.(−1).(−4)
    D = 0
    Karena D = 0, maka parabola menyinggung sumbu-x, menyebabkan titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama.

    Titik potong sumbu-x  ⇒  y = 0
    −x2 − 4x − 4 = 0
    x2 + 4x + 4 = 0
    (x + 2)(x + 2) = 0
    x = −2
    ⇒  (−2, 0)

    Karena titik potong sumbu-x dan titik puncak sama, yaitu (−2, 0), maka diperoleh :
    Persamaan sumbu simetri : x = −2
    Nilai ekstrim : y = 0

    Titik potong sumbu-y  ⇒  x = 0
     (0, c) ⇒ (0, 4)

    Karena untuk menggambar parabola minimal diperlukan tiga buah titik, untuk itu kita dapat menentukan titik-titik bantu disekitar sumbu simetri (x = −2).

    Untuk x = −1
    y = f(−1) = −(−1)2 − 4(−1) − 4 = −1
    ⇒  (−1, −1)

    Untuk x = −3
    y = f(−3) = −(−3)2 − 4(−3) − 4 = −1
    ⇒  (−3, −1)

    Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

    Sketsa grafik f(x) = -x^2 - 4x - 4

    Contoh 3
    Gambarlah grafik fungsi kuadrat (mathrm{f(x)=x^{2}+1})

    Jawab:
    a = 1 > 0  (parabola terbuka ke atas)
    b = 0  (titik potong sumbu-y = titik puncak)
    c = 1

    D = b2 − 4ac
    D = (0)2 − 4.1.1
    D = −4
    Karena D < 0 maka parabola tidak mempunyai titik potong sumbu-x.

    Titik potong sumbu-y
    (0, c) ⇒ (0, 1)

    Karena titik potong sumbu-y dan titik puncak sama yaitu : (0, 1), maka diperoleh :
    Persamaan sumbu simetri : x = 0
    Nilai ekstrim : y = 1

    Titik-titik bantu :

    Untuk x = 1
    y = f(1) = (1)2 + 1 = 2
    ⇒  (1, 2)

    Untuk x = 2
    y = f(2) = (2)2 + 1 = 5
    ⇒  (2, 5)

    Untuk x = −1
    y = f(−1) = (−1)2 + 1 = 2
    ⇒  (−1, 2)

    Untuk x = −2
    y = f(−2) = (−2)2 + 1 = 5
    ⇒  (−2, 5)

    Catatan :
    Dengan mencerminkan titik-titik (1, 2) dan (2, 5) ke sumbu simetri (x = 0), maka akan diperoleh titik-titik (−1, 2) dan (−2, 5). Jadi tidak harus dicari satu per satu seperti cara diatas.

    Selanjutnya, dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, maka akan terbentuk sebuah parabola sebagai berikut :

    Sketsa grafik f(x) = x^2 + 1

    Grafik fungsi diatas merupakan salah satu contoh grafik fungsi definit positif, dimana grafiknya tidak memotong sumbu-x dan untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada diatas sumbu-x.