Pertidaksamaan Rasional atau Pecahan

Pertidaksamaan rasional adalah suatu bentuk pertidaksamaan yang memuat fungsi rasional, yaitu fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk (mathrm{frac{f(x)}{g(x)}}) dengan syarat g(x) ≠ 0.

Bentuk umum pertidaksamaan rasional :

(mathrm{frac{f(x)}{g(x)}}) > 0  atau  (mathrm{frac{f(x)}{g(x)}}) ≥ 0  ; g(x) ≠ 0

(mathrm{frac{f(x)}{g(x)}}) < 0  atau  (mathrm{frac{f(x)}{g(x)}}) ≤ 0  ; g(x) ≠ 0.

Berikut hal-hal yang tidak dibenarkan dalam menyederhanakan bentuk pertidaksamaan rasional karena akan merubah domain fungsi tersebut :

  1. Kali silang $$mathrm{frac{f(x)}{g(x)}> c;;{color{Red} notequiv};; f(x)>c,.,g(x)}$$
  2. Mencoret fungsi ataupun faktor yang sama pada pembilang dan penyebut $$mathrm{frac{f(x),.,g(x)}{g(x)}> c;;{color{Red} notequiv};; f(x)>c}$$

Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

  1. Nyatakan dalam bentuk umum.
  2. Tentukan pembuat nol pada pembilang dan penyebut.
  3. Tulis pembuat nol pada garis bilangan dan tentukan tanda untuk tiap-tiap interval pada garis bilangan.
  4. Tentukan daerah penyelesaian. Untuk pertidaksamaan “>” atau “≥” daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda positif dan untuk pertidaksamaan  “<” atau “≤” daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda negaitf.
  5. Dengan memperhatikan syarat bahwa penyebut tidak sama dengan nol, tulis himpunan penyelesaian yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.
Contoh 1
Tentukan HP dari (mathrm{frac{x-3}{x+1}}) ≥ 0
Jawab :
Pembuat nol :
x − 3 = 0  ⇒ x = 3
x + 1 = 0  ⇒ x = −1

Syarat :
x + 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ −1

Untuk interval x < −1, ambil x = −2 :
(mathrm{frac{-2-3}{-2+1}}) = 5 (+)

Untuk interval −1 < x ≤ 3, ambil x = 0 :
(mathrm{frac{0-3}{0+1}}) = −3 (−)

Untuk interval x > 3, ambil x = 4 :
(mathrm{frac{4-3}{4+1}}) = (frac{1}{5}) (+)

Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {x < −1 atau x ≥ 3}

Contoh 2
Tentukan HP dari (mathrm{frac{2x-1}{4-x}}) > 0

Jawab :
Pembuat nol :
2x − 1 = 0  ⇒ x = (frac{1}{2})
4 − x = 0  ⇒ x = 4

Syarat :
4 − x ≠ 0  ⇒ x ≠ 4

Karena pertidaksamaan bertanda “>”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {(frac{1}{2}) < x < 4}

Contoh 3
Tentukan HP dari (mathrm{frac{x^{2}-2x+1}{x+2}< 0})

Jawab :
(mathrm{frac{(x-1)(x-1)}{x+2}<0})

Pembuat nol :
(x − 1)(x − 1) = 0  ⇒ x = 1
x + 2 = 0  ⇒ x = −2

Syarat :
x + 2 ≠ 0  ⇒ x ≠ −2

Karena pertidaksamaan bertanda “<“, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).

∴ HP = {x < −2}


Contoh 4

Tentukan HP dari (mathrm{frac{x-5}{x^{2}+6x+9}leq 0})
Jawab :

(mathrm{frac{x-5}{(x+3)(x+3)}leq 0})

Pembuat nol :
x − 5 = 0  ⇒ x = 5
(x + 3)(x + 3) = 0  ⇒ x = −3

Syarat :
(x + 3)(x + 3) ≠ 0  ⇒ x ≠ −3

Karena pertidaksamaan bertanda “≤”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).

∴ HP = {x < −3 atau −3 < x ≤ 5} atau
   HP = {x ≤ 5 dan x ≠ −3}

Dari contoh-contoh diatas kita dapat menyimpulkan sebagai berikut :

  1. Pembuat nol pada penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong apapun tanda pertidaksamaan.
  2. Tanda untuk tiap-tiap interval selalu berselang-seling positif dan negatif jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang berbeda (contoh 1 dan 2).
  3. Tanda untuk tiap-tiap interval menjadi tidak berselang-seling jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang sama (contoh 3 dan 4).


Pertidaksamaan rasional yang memuat fungsi definit

Pada materi fungsi kuadrat kita mengenal adanya fungsi yang selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real (definit positif) dan fungsi yang selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real (definit negatif).

Fungsi definit positif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan.

Contoh 5
Tentukan HP dari (mathrm{frac{x-4}{x^{3}+x}leq 0})

Jawab :
(mathrm{frac{x-4}{x(x^{2}+1)}leq 0})

x2 + 1 merupakan fungsi definit positif, dapat dibuktikan dengan syarat definit positif yaitu : a > 0 dan D < 0.

Jadi, x2 + 1 dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
(mathrm{frac{x-4}{x}leq 0})

Pembuat nol :
x − 4 = 0  ⇒ x = 4
x = 0

Syarat :
x ≠ 0

Karena pertidaksamaan bertanda “≤”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x ≤ 4}


Fungsi definit negatif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik.

Contoh 6
Tentukan HP dari (mathrm{frac{-x^{2}+x-2}{x^{2}-4x+3}leq 0})

Jawab :
(mathrm{frac{-x^{2}+x-2}{(x-1)(x-3)}leq 0})

−x2 + x − 2 merupakan fungsi definit negatif, dapat dibuktikan dengan syarat definit negatif yaitu : a < 0 dan D < 0.

Jadi, −x2 + x − 2 dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
(mathrm{frac{1}{(x-1)(x-3)}geq 0})

Pembuat nol :
(x − 1)(x − 3) = 0  ⇒ x = 1 atau x = 3

Syarat :
(x − 1)(x − 3) ≠ 0  ⇒ x ≠ 1 atau x ≠ 3

Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 3}

Latihan Soal Pertidaksaman Rasional

Latihan 1
Tentukan HP dari (mathrm{frac{2x-1}{x+2}geq 1})

Jawab :
⇔ (mathrm{frac{2x-1}{x+2}}) − 1 ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{2x-1}{x+2}-frac{x+2}{x+2}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{2x-1-x-2}{x+2}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{x-3}{x+2}}) ≥ 0

Pembuat nol :
x − 3 = 0  ⇒ x = 3
x + 2 = 0  ⇒ x = −2

Syarat :
x + 2 ≠ 0  ⇒ x ≠ −2

Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < −2 atau x ≥ 3}

Latihan 2
Tentukan HP dari (mathrm{2>frac{5x}{x-4}})

Jawab :
Pertidaksamaan diatas dapat ditulis menjadi :
(mathrm{frac{5x}{x-4}}) < 2

⇔ (mathrm{frac{5x}{x-4}}) − 2 < 0
⇔ (mathrm{frac{5x}{x-4}-frac{2(x-4)}{x-4}}) < 0
⇔ (mathrm{frac{5x-2x+8}{x-4}}) < 0
⇔ (mathrm{frac{3x+8}{x-4}}) < 0

Pembuat nol :
3x + 8 = 0  ⇒ x = (-frac{8}{3})
x − 4 = 0  ⇒ x = 4

Syarat :
x − 4 ≠ 0  ⇒ x ≠ 4

Karena pertidaksamaan bertanda “<“, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {(-frac{8}{3}) < x < 4}

Latihan 3
Tentukan HP dari (mathrm{frac{1-3x}{2x-2}leq frac{1}{2}})

Jawab :
⇔ (mathrm{frac{1-3x}{2x-2}-frac{1}{2}}) ≤ 0
⇔ (mathrm{frac{1-3x}{2(x-1)}-frac{1(x-1)}{2(x-1)}}) ≤ 0
⇔ (mathrm{frac{1-3x-x+1}{2(x-1)}}) ≤ 0
⇔ (mathrm{frac{2-4x}{2(x-1)}}) ≤ 0

Pembuat nol :
2 − 4x = 0  ⇒ x = (frac{1}{2})
x − 1 = 0  ⇒ x = 1

Syarat :
x − 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda “≤”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ (frac{1}{2}) atau x > 1}

Latihan 4
Tentukan HP dari (mathrm{frac{x^{2}+3x}{x+1}geq 3})

Jawab :
⇔ (mathrm{frac{x^{2}+3x}{x+1}}) − 3 ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{x^{2}+3x}{x+1}}) − (mathrm{frac{3(x+1)}{x+1}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{x^{2}+3x-3x-3}{x+1}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{x^{2}-3}{x+1}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{(x+sqrt{3})(x-sqrt{3})}{x+1}}) ≥ 0

Pembuat nol :
(x + √3)(x − √3) = 0  ⇒ x = √3 atau x = −√3
x + 1 = 0  ⇒ x = −1

Syarat :
x + 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ −1

Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {−√3 ≤ x < −1 atau x ≥ √3}

Latihan 5
Tentukan HP dari (mathrm{frac{x+1}{x-2}geq frac{1}{x-1}})

Jawab :
⇔ (mathrm{frac{x+1}{x-2}-frac{1}{x-1}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{(x+1)(x-1)-(x-2)}{(x-2)(x-1)}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{x^{2}-1-x+2}{(x-2)(x-1)}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{x^{2}-x+1}{(x-2)(x-1)}}) ≥ 0

x2 − x + 1 merupakan fungsi definit positif, sehingga dapat diabaikan tanpa harus mengubah atau membalik tanda pertidaksamaan.

Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
(mathrm{frac{1}{(x-2)(x-1)}}) ≥ 0

Pembuat nol :
(x − 2)(x − 1) = 0  ⇒ x = 2 atau x = 1

Syarat :
(x − 2)(x − 1) ≠ 0  ⇒ x ≠ 2 atau x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 2}

Latihan 6
Tentukan HP dari (mathrm{frac{4}{-x^{2}-4}geq frac{1}{x-1}})

Jawab :
⇔ (mathrm{frac{4}{-x^{2}-4}-frac{1}{x-1}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{4(x-1)-(-x^{2}-4)}{(-x^{2}-4)(x-1)}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{4x-4+x^{2}+4}{(-x^{2}-4)(x-1)}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{x^{2}+4x}{(-x^{2}-4)(x-1)}}) ≥ 0
⇔ (mathrm{frac{x(x+4)}{(-x^{2}-4)(x-1)}}) ≥ 0

−x2 − 4 merupakan fungsi definit negatif sehingga dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan diubah atau dibalik.

Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
(mathrm{frac{x(x+4)}{x-1}}) ≤ 0

Pembuat nol :
x(x + 4) = 0  ⇒ x = 0 atau x = −4
x − 1 = 0  ⇒ x = 1

Syarat :
x − 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda “≤” maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ −4 atau 0 ≤ x < 1}